数学微积分04 函数和差积商的导数及复合函数求导链式法则

函数和差积商的导数¶

上一篇文章(《数学微积分03 导数》）我们学习了如何对简单函数求导，现在我们结合这些简单函数得到的更复杂函数的求导规则。

函数和的导数¶

利用导数的极限定义，我们可以知道 $$ \displaystyle\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \left( \dfrac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} + \dfrac{g(x + \Delta x) - g(x)}{\Delta x} \right)\\[1cm] = \displaystyle\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \left( \dfrac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} \right) + \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \left(\dfrac{g(x + \Delta x) - g(x)}{\Delta x} \right) $$

进而得出 $$ \dfrac{d (f(x) + g(x))}{dx} = \dfrac{d f(x)}{dx} + \dfrac{d g(x)}{dx} $$

函数差的导数¶

函数差的导数也是类似， $$ \dfrac{d (f(x) - g(x))}{dx} = \dfrac{d f(x)}{dx} - \dfrac{d g(x)}{dx} $$

函数积的导数¶

另一个重要的微分法则是乘法法则

$$ \dfrac{d \left(f(x) g(x)\right)}{d x} = f(x) \dfrac{d g(x)}{d x} + g(x) \dfrac{d f(x)}{d x} $$

证明
我们还是从定义出发

$$ \dfrac{d \left(f(x) g(x)\right)}{d x} = \displaystyle\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \dfrac{f(x+\Delta x)g(x + \Delta x) - f(x) g(x)}{\Delta x} $$

利用

$$ f(x + \Delta x) = f(x) + \Delta f(x) $$

重新组合分子

$$ \displaystyle\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \dfrac{\left(f(x) + \Delta f(x)\right)\left(g(x) + \Delta g(x)\right) - f(x) g(x)}{\Delta x} = \displaystyle\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \left(f(x) \dfrac{\Delta g(x)}{\Delta x} + g(x) \dfrac{\Delta f(x)}{\Delta x} + \Delta f(x) \dfrac{\Delta g(x)}{\Delta x} \right) $$

证明过程中最重要的部分是认识到第三项的极限等于零:

$$ \displaystyle\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \Delta f(x) \dfrac{\Delta g(x)}{\Delta x} = 0 $$

显然 $\dfrac{\Delta g(x)}{\Delta x}$ 趋向于 $\dfrac{d g(x)}{d x}$ 并且它乘以$f(x)$它显然趋于零。所以

$$ \begin{aligned} \dfrac{d \left(f(x) g(x)\right)}{d x} &= \displaystyle\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \left(f(x) \dfrac{\Delta g(x)}{\Delta x} + g(x) \dfrac{\Delta f(x)}{\Delta x} + \Delta f(x) \dfrac{\Delta g(x)}{\Delta x} \right)\\ &= \displaystyle\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \left(f(x) \dfrac{\Delta g(x)}{\Delta x} \right) + \displaystyle\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \left( g(x) \dfrac{\Delta f(x)}{\Delta x} \right) + \displaystyle\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \left(\Delta f(x) \dfrac{\Delta g(x)}{\Delta x} \right)\\ &= f(x) \dfrac{d g(x)}{d x} + g(x) \dfrac{d f(x)}{d x} \end{aligned} $$

复合函数(Functional composition)¶

给定一个函数 $u(x)$ 将集合 $A$元素对应到 $B$: $$ u(x):A \rightarrow B $$ 然后另一个函数 $f(u)$ 将 $B$中元素对应到$C$: $$ f(u): B \rightarrow C $$ 我们可以把这两个函数合并成一个新的函数$h(x)$以$A$为定义域，以$C$为值域。我们只需要首先对结果应用函数$u(x)$，然后应用函数$f(u)$: $$ h(x) = f(u(x)) $$

比如将下面两个函数复合：

$$ u(x) = x^2 $$

和

$$ f(u) = \mathrm{e}^u $$

复合的结果是

$$ h(x) = f(u(x)) = \mathrm{e}^{u(x)} = \mathrm{e}^{x^2} $$

链式法则(The chain rule)¶

对于一个复合函数，我们有 $$ \dfrac{dh(x)}{dx} = \dfrac{df(u(x))}{du} \dfrac{du(x)}{dx} $$

例如：

$$ h(x) = \mathrm{e}^{x^2} $$

我们有

$$ \dfrac{d f(u(x))}{du} = \dfrac{d \mathrm{e}^{u(x)}}{du} = \mathrm{e}^{u(x)} $$

且

$$ \dfrac{d u(x)}{dx} = 2 x $$